Banca de DEFESA: IAN RODRIGUES DOS SANTOS

Uma banca de DEFESA de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE : IAN RODRIGUES DOS SANTOS
DATA : 25/05/2026
HORA: 13:30
LOCAL: Maceió
TÍTULO:

Formas L²-harmônicas e o índice de superfícies mínimas completas de bordo livre

PALAVRAS-CHAVES:

superfícies mínimas; bordo livre; índice de Morse; operador de Jacobi; formas harmônicas em L².

PÁGINAS: 71
RESUMO:

Nesta tese, estudamos superfícies mínimas completas, orientáveis e não compactas com bordo livre em domínios de R³ cujo bordo é suave por partes e convexo em média. O objetivo principal é obter estimativas inferiores para o índice de Morse dessas superfícies em termos de seus invariantes topológicos.

Para isso, desenvolvemos inicialmente o formalismo variacional associado à primeira e à segunda variações da área no contexto completo com bordo livre, enfatizando o papel do operador de Jacobi e da forma quadrática associada. Em seguida, analisamos o espaço das 1-formas harmônicas tangenciais em L² e mostramos, via compactificação conforme, que sua dimensão é dada por uma expressão puramente topológica. Mais precisamente, provamos que a dimensão desse espaço é 2g+k-1, onde g é o gênero da compactificação conforme da superfície e k é o número de componentes do bordo.

Com base nessa caracterização, construímos funções teste a partir das coordenadas do campo dual de formas harmônicas em L² e estabelecemos uma identidade para a soma das formas quadráticas correspondentes, na qual a curvatura média da superfície de suporte ao longo do bordo desempenha papel essencial. Combinando essa identidade com a caracterização L² do índice e um argumento de dimensão, deduzimos uma estimativa inferior para o índice de Morse de superfícies mínimas completas com bordo livre em R³. Esse resultado fornece uma relação explícita entre instabilidade e topologia no caso não compacto com bordo.

Na parte final da tese, estudamos o catenoide no contexto de bordo livre. Explorando sua simetria de revolução e utilizando separação de variáveis, reduzimos o operador de Jacobi a uma família de problemas ordinários do tipo Sturm-Liouville. Isso nos permite calcular explicitamente o índice de dois exemplos completos: a meia parte do catenoide com bordo livre em um plano, cujo índice de Morse é igual a 1, e a porção do catenoide com bordo livre no hemisfério inferior, tomada pelo lado convexo, cujo índice de Morse é igual a 4.

MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 1435426 - MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
Interno(a) - 2395847 - ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
Interno(a) - 2474631 - MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
Externo(a) à Instituição - LUCAS AMBROZIO - IMPA
Externo(a) à Instituição - PEDRO JORGE DUARTE GIL MORAIS
Externo(a) à Instituição - DAVI MÁXIMO ALEXANDRINO NOGUEIRA - UP