Superfícies mínimas, estabilidade, estimativas de área, primeiro auto valor do Laplaciano.

Esta dissertação se baseia nos resultados recentes de O. Munteanu, C.-J. Sung e J. Wang, publicados em 2023 no artigo da referência [MSW23]. A nossa principal motivação reside no estudo do crescimento da área de bolas geodésicas e estimativas para o espectro do operador laplaciano em superfícies mínimas estáveis completas em uma variedade tridimensional com limitação na curvatura escalar. Após uma revisão sobre os tópicos e técnicas envolvidos, focamos inicialmente no caso do espaço Euclideano R3. Neste caso, obtemos uma estimativa de área ótima que nos permite afirmar que as superfícies mínimas estáveis possuem crescimento de área exatamente como o plano Euclidiano. Isto é suficiente para provar que superfícies mínimas estáveis completas em R3 são planos. Esta é uma conclusão já conhecida pelas contribuições de Do Carmo e Peng [dCP79], Fisher-Colbrie e Schoen [FCS80], e Pogorelov [Pog81]. A técnica para provar a estimativa de área pode ser adaptada de modo a obter estimativas de área no caso de uma variedade ambiente mais geral.

Na segunda parte do trabalho, focamos em estimativas superiores para o ínfimo do espectro de hipersuperfícies mínimas estáveis. Inicialmente, recordamos que o ínfimo do espectro está estreitamente relacionado com o crescimento do volume de bolas geodésicas. Motivados por este fato, obtemos nossas estimativas utilizando funções testes que são construídas em termos da função de Green. Por uma questão técnica, estas estimativas valem apenas para hipersuperfícies mínimas estáveis em variedades completas com dimensão até seis.