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Teses |
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DEIVID SANTOS DE ALMEIDA
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Rigidez de MOTS com fronteira livre em um conjunto de dados iniciais
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Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
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MEMBROS DA BANCA :
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ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
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IVALDO PAZ NUNES
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MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
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MARCIO SILVA SANTOS
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MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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Data: 31/01/2025
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Neste trabalho, nós apresentamos alguns resultados de rigidez de MOTS com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais que satisfazem certas condições geométricas e de energia naturais. O primeiro resultado trata sobre hipersuperfícies compactas Σ com fronteira livre em variedades Riemannianas (M, g) com fronteira, onde a curvatura escalar de M satisfaz R ≥ −(n + 1)n ou R ≥ 0 e a curvatura média de Σ satisfaz H ≤ n ou H ≤ 0, respectivamente. Na demonstração, é usada a teoria de MOTS com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais com fronteira. Esse resultado foi motivado pelo trabalho de G. J. Galloway e H. C. Jang, que obtiveram o mesmo resultado para variedades M com fronteira compacta Σ. No segundo resultado, é apresentado uma estimativa inferior para o volume de MOTS compactas estáveis Σ com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais (M, g, K), com n ≥ 3, assumindo que Σ possui invariante de Yamabe negativo. No caso em que temos a igualdade na estimativa, é possível demonstrar que uma vizinhança exterior de Σ em M é isométrica a ([0, t) × Σ, dt^2 + g|Σ). Esse resultado foi motivado pelos trabalhos de A. Mendes, que fez o caso para MOTS fechadas, e de A. Barros e C. Cruz, que obtiveram estimativas sharp para o volume de hipersuperfícies compactas mínimas estáveis com invariante de Yamabe não-positivo satisfazendo a condição de fronteira livre em uma variedade Riemanniana com limitação inferior na curvatura escalar e na curvatura média da fronteira, e o resultado de rigidez quando se tem a igualdade no volume.
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In this work, we present some rigidity results for free boundary MOTS in initial data sets that satisfy certain natural geometric and energy conditions. The first result deals with compact free boundary hypersurfaces Σ in Riemannian manifolds (M, g) with boundary, where the scalar curvature of M satisfies R ≥ −(n + 1)n or R ≥ 0 and the mean curvature of Σ satisfies H ≤ n or H ≤ 0, respectively. In the proof, we use the theory of free boundary MOTS in initial data sets with boundary. This result was motivated by the work of G. J. Galloway and H. C. Jang, who obtained the same result for manifolds M with compact boundary Σ. In the second result, a lower bound is presented for the volume of compact stable free boundary MOTS Σ in initial data sets (M, g, K), with n ≥ 3, assuming that Σ has negative Yamabe invariant. In the case where the equality holds, it is possible to prove that an outer neighborhood of Σ in M is isometric to ([0, t)×Σ, dt^2+g|Σ). This result was motivated by the work of A. Mendes, who studied the case of closed MOTS, and the work of A. Barros and C. Cruz, who obtained sharp estimates for the volume of compact stable minimal hypersurfaces with nonpositive Yamabe invariant satisfying the free boundary condition in a Riemannian manifold with lower bounds on the scalar curvature and the mean curvature of the boundary, and the rigidity result when the volume saturates the inequality.
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DAYLANNE FERREIRA RIBEIRO
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RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES QUE MINIMIZAM O VOLUME EM VARIEDADES RIEMANNIANAS COM CURVATURA ESCALAR POSITIVA.
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Orientador : FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
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MEMBROS DA BANCA :
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CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
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FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
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MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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IVALDO PAZ NUNES
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MARIA DE ANDRADE COSTA E SILVA
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Data: 12/03/2025
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Este trabalho estende o teorema de Mendes para dimensões superiores e para variedades Riemannianas com bordo. Primeiramente, obtemos uma desigualdade semelhante a de Mendes para o volume de hipersuperfícies fechadas
conformemente planas que minimizam o volume em variedades Riemanninas de dimensão 7 com curvatura escalar positiva e curvatura de Ricci não negativa. Além disso, provamos que, no caso de igualdade, a hipersuperfície é isométrica à esfera de dimensão 6 e a variedade ambiente a um produto do tipo $(- \varepsilon, \varepsilon) \times {S}^6$. Também generalizamos esses resultados para hipersuperfícies com bordo livre e totalmente geodésico imersas em variedades de dimensão 5 ou 7 com bordo não vazio e curvatura média do bordo não negativa. Obtemos desigualdades análogas e mostramos que, no caso de igualdade, a hipersuperfície é isométrica ao hemisfério de dimensão 4 ou 6, enquanto a variedade ambiente é isométrica a um produto do tipo $(-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^4_+$ ou $(-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^6_+$.
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This work extends Mendes' theorem to higher dimensions and to Riemannian manifolds with boundary. First, we obtain an inequality similar to Mendes' for the volume of closed, conformally flat, volume-minimizing hypersurfaces in 7- dimensional Riemannian manifolds with positive scalar curvature and nonnegative Ricci curvature. Furthermore, we prove that, in the case of equality, the hypersurface is isometric to the 6-dimensional sphere, and the ambient manifold is isometric to a product of the form $(-\varepsilon, \varepsilon) \ times {S}^6$. We also generalize these results to hypersurfaces with free boundary and totally geodesic boundary, immersed in 5- or 7-dimensional manifolds with nonempty boundary and nonnegative mean curvature of the boundary. We obtain
analogous inequalities and show that, in the case of equality, the hypersurface is isometric to a 4- or 6-dimensional hemisphere, while the ambient manifold is isometric to a product of the form $ (-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^4_+$ or $(-\varepsilon, \ varepsilon) \times {S}^6_+$.
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ELAINE SAMPAIO DE SOUSA CARLOS
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Hipersuperfícies CMC estáveis e rigidez espectral em variedades com curvatura limitada inferiormente
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Orientador : FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
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MEMBROS DA BANCA :
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FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
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MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
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MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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MARCOS RANIERI DA SILVA
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LUCIANO MARI
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MARIA DE ANDRADE COSTA E SILVA
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Data: 26/08/2025
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Este trabalho está estruturado em duas partes. Na primeira, apresentamos estimativas de área para hipersuperfícies de curvatura média constante estáveis, imersas em variedades Riemannianas com curvatura (escalar ou seccional) limitada inferiormente. Como aplicação, obtemos estimativas superiores para o bottom spectrum do Laplaciano nessas hipersuperfícies. Estes resultados generalizam e desenvolvem as técnicas introduzidas por Munteanu, Sung e Wang (MUNTEANU et al., 2023), originalmente estabelecidas para superf.cies mínimas estáveis. Na segunda parte do trabalho, investigamos o espectro do operador de Laplace-Beltrami em variedades completas e n.o compactas Mn, cuja curvatura de Ricci satisfaz a desigualdade
Ric ≥ −(n − 1)G(r),
para uma função contínua e não-crescente G tal que G − 1 ∈ L^1(∞). Essa classe inclui, em particular, variedades assintoticamente hiperbólicas em um sentido suave. Demonstramos que, se o bottom spectrum atinge o valor máximo (n−1)^2/4, compatível com essa condição de curvatura, então o espectro de M coincide com o espectro do espaço hiperbólico H^n, ou seja,
σ(M) =[(n−1)^2/4,∞).
Além disso, mostramos que esse resultado pode ser localizado em um fim E ⊂ M de volume infinito.
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This work is structured in two parts. In the first, we present area estimates for stable constant mean curvature hypersurfaces immersed in Riemannian manifolds with scalar or sectional curvature bounded from below. As an application, we obtain upper bounds for the bottom spectrum of the Laplacian on such hypersurfaces. These results generalize and build upon techniques introduced by Munteanu, Sung, and Wang (MUNTEANU et al., 2023), originally developed for stable minimal surfaces.
In the second part of the work, we investigate the spectrum of the Laplace–Beltrami operator on complete, non-compact Riemannian manifoldsMn, whose Ricci curvature satisfies the inequality
Ric ≥ −(n − 1)G(r),
for some continuous, non-increasing function G such that G − 1 ∈ L^1(∞). This class includes, in particular, asymptotically hyperbolic manifolds in a mild sense. We prove that if the bottom spectrum attains the maximal value (n−1)^2/4 compatible with this curvature condition, then the spectrum of M coincides with the spectrum of hyperbolic space Hn, that is,
σ(M) =[(n−1)^2/4,∞).
Moreover, we show that this result can be localized to an end E ⊂ M with infinite volume.
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ALLAN KENEDY SANTOS SILVA
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Estabilidade e Rigidez de Hipersuperfícies Weingarten Lineares Capilares
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Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
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MEMBROS DA BANCA :
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FÁBIO REIS DOS SANTOS
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HILARIO ALENCAR DA SILVA
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MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
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MARCIO SILVA SANTOS
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MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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Data: 28/08/2025
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Observando um orvalho, vemos que ele consiste numa espécie de ``balão'' preenchido por líquido. A superfície se comporta como uma membrana elástica sob tensão. A intensidade dessa força de tensão por unidade de comprimento é chamada de \textit{tensão superficial}.
Uma consequência da tensão superficial é o \textit{efeito capilar}, que é a ascensão ou depressão de um líquido num tubo de pequeno diâmetro imerso no líquido. Num ensaio apresentado pelo físico britânico Thomas Young à \textit{Royal Society} de Londres em 1805, é exibido um argumento para demonstrar que, em uma configuração de equilíbrio e na ausência de atrito entre o líquido e as paredes do tubo, o líquido encontra as paredes delimitadoras num ângulo de contato constante.
Uma \textbf{hipersuperfície capilar} é uma hipersuperfície $M^n$ suportada sobre o bordo $\partial \Omega$ de um domínio $\Omega \subset M^{n+1}$ e que o intersecta em um ângulo de contato constante. As superfícies de curvatura média constante são objetos de grande interesse em análise geométrica, e frequentemente são estudadas em termos de estabilidade. Dizemos que uma superfície é \textit{estável} se ela minimiza o funcional área ou algum funcional energia associado.
Ao longo dos últimos 40 anos, vários matemáticos se debruçaram no estudo da estabilidade de hipersuperfícies capilares. De forma resumida, eles demonstraram que, dada uma variedade $M^n$ conexa, compacta e orientável e uma imersão isométrica
$$
x : M^n \to M_c^{n+1},
$$
de $M$ numa forma espacial $M_c$ de curvatura constante $c$, com $r$-curvatura média constante, suportada numa variedade totalmente umbílica e com o seu bordo tocando num ângulo de contato constante; se a imersão é estável, então $x(M)$ é totalmente umbílica.
O objetivo desta tese é demonstrar este resultado para imersões cujas curvaturas médias $H_1, \ldots, H_n$ satisfazem a condição de Weingarten
$$
a_1 H_1 + \cdots + a_n H_n = \text{const.}
$$
sob diferentes condições de fronteira. Também será apresentado um caso em que não existe hipersuperfície estável (a saber, quando a hipersuperfície está suportada num \textit{slab} com ângulos de contato suplementares). Além disso, serão estabelecidas fórmulas do tipo Minkowski para bolas em $\mathbb{H}^{n+1}$ e $\mathbb{S}^{n+1}$.
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Observing a dew drop, we see that it consists of a sort of ``balloon'' filled with liquid.
The surface behaves like an elastic membrane under tension.
The intensity of this tensile force per unit length is called the \textit{surface tension}.
A consequence of surface tension is the \textit{capillary effect}, which is the rise or depression of a liquid in a thin tube immersed in the liquid.
In an essay presented by the British physicist Thomas Young to the \textit{Royal Society} of London in 1805, an argument was given to show that, in an equilibrium configuration and in the absence of friction between the liquid and the tube walls, the liquid meets the boundary walls at a constant contact angle.
A \textbf{capillary hypersurface} is a hypersurface $M^n$ supported on the boundary $\partial \Omega$ of a domain $\Omega \subset M^{n+1}$ and intersecting it at a constant contact angle.
Constant mean curvature surfaces are objects of great interest in geometric analysis, and they are often studied in terms of stability.
We say that a surface is \textit{stable} if it minimizes the area functional or some associated energy functional.
Over the last 40 years, several mathematicians have studied the stability of capillary hypersurfaces.
In summary, they proved that, given a connected, compact, and orientable manifold $M^n$ and an isometric immersion
\[
x : M^n \to M_c^{n+1},
\]
of $M$ into a space form $M_c$ of constant curvature $c$, with constant $r$-mean curvature, supported on a totally umbilical hypersurface and with its boundary meeting it at a constant contact angle, if the immersion is stable, then $x(M)$ is totally umbilical.
The aim of this thesis is to extend this result to immersions whose mean curvatures $H_1, \ldots, H_n$ satisfy the Weingarten condition
\[
a_1 H_1 + \cdots + a_n H_n = \text{const.}
\]
under different boundary conditions.
We also present a case where no stable hypersurface exists (namely, when the hypersurface is supported on a \textit{slab} with supplementary contact angles).
Furthermore, Minkowski-type formulas will be established for balls in $\mathbb{H}^{n+1}$ and $\mathbb{S}^{n+1}$.
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