Nesta Tese de doutorado são provadas estimativas para o índice de Morse de hipersuperfícies mínimas em cinco contextos distintos:
(1): Demonstramos a não existência de uma hipersuperfície mínima, dois-lados, fechada, conexa, imersa no espaço projetivo real RP^{n+1} com índice dois.
(2): São provadas estimativas de rigidez e lacuna no índice para hipersuperfícies mínimas, fechadas, orientáveis, imersas em um produto finito de esferas. Tais estimativas são dadas em função dos raios e dimensões das esferas.
(3): Tratamos de hipersuperfícies (compactas ou completas não-compactas) f-mínimas, orientáveis, com fronteira livre em um domínio Ω do espaço euclidiano ponderado (R^{n+1}, g_can, e^{−f}dµ). Neste caso, obtemos cotações inferiores para o índice por uma função afim envolvendo uma quantidade topológica. Caso a hipersuperfície seja compacta, esta quantidade é o seu primeiro número de Betti.
(4): Consideramos operadores do tipo ∆_f + W − aK sobre superfícies em variedades Riemannianas ponderadas (M^3 , g, e^{−f}dµ), onde W é uma função localmente integrável, K é a curvatura Gaussiana da superfície e a é um inteiro positivo. São apresentados resultados sobre a topologia e crescimento de volume de superfícies com curvatura média ponderada constante f-estáveis ou com f-índice finito. Além disso, também obtemos cotação inferior para o primeiro autovalor do operador de estabilidade.
(5): Obtemos fórmulas de monotonicidade e densidade para hipersuperfícies com fronteira não-vazia, propriamente mergulhadas em um produto warped do tipo I ×_h S^2 . Por fim, apresentamos um método para calcular uma região de estabilidade para cones totalmente geodésicos em um espaço conforme a produtos warped da forma I ×_h S^2 ou I ×_h R^2 com curvatura de Ricci constante.
In this Doctoral Thesis, we obtain several estimates for the Morse index of minimal hypersurfaces in five different settings. More precisely,
(1): We prove the nonexistence of a closed two-sided minimal hypersurface immersed in the real projective space RPn+1 with index two.
(2): We prove a gap of the Morse index of a orientable, closed minimal hypersurface immersed in a finite product of spheres. Such estimates are given as a function of the radii and dimensions of the spheres.
(3): We study orientable complete f-minimal free boundary hypersurfaces in a domain Ω of the weighted Euclidean space (R^{n+1}, g_{can}, e^{−f}dµ). In this case, we get lower bounds for the index by an affine function involving a topological quantity. If the hypersurface is compact, this quantity is its first Betti number.
(4): We consider operators of the type ∆_f + W − aK on surfaces in weighted Riemannian manifolds (M^3 , g, e^{−f}dµ), where W is a locally integrable function, K is the Gaussian curvature of the surface, and a is a positive integer. We obtain some results about the topology and volume growth of geodesic ball on f-stable constant weighted mean curvature surfaces. In addition, we also get a lower bound for the first eigenvalue of the stability operator.
(5): We obtain monotonicity and density formulas for hypersurfaces with a non-empty boundary, properly embedded in a warped product of type I ×_h S^2 . Finally, we present a method to calculate a region of stability for totally geodesic cones in a space conformal to warped products of the form I ×_h S^2 or I ×_h R^2 with curvature constant Ricci
