PPGMATUU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL INSTITUTO DE MATEMÁTICA Telefone/Ramal: 82 99977 9759
Dissertações/Teses

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2025
Teses
1
  • DEIVID SANTOS DE ALMEIDA
  • Rigidez de MOTS com fronteira livre em um conjunto de dados iniciais

  • Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • IVALDO PAZ NUNES
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MARCIO SILVA SANTOS
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • Data: 31/01/2025

  • Mostrar Resumo
  • Neste trabalho, nós apresentamos alguns resultados de rigidez de MOTS com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais que satisfazem certas condições geométricas e de energia naturais. O primeiro resultado trata sobre hipersuperfícies compactas Σ com fronteira livre em variedades Riemannianas (M, g) com fronteira, onde a curvatura escalar de M satisfaz R ≥ −(n + 1)n ou R ≥ 0 e a curvatura média de Σ satisfaz H ≤ n ou H ≤ 0, respectivamente. Na demonstração, é usada a teoria de MOTS com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais com fronteira. Esse resultado foi motivado pelo trabalho de G. J. Galloway e H. C. Jang, que obtiveram o mesmo resultado para variedades M com fronteira compacta Σ. No segundo resultado, é apresentado uma estimativa inferior para o volume de MOTS compactas estáveis Σ com fronteira livre em conjuntos de dados iniciais (M, g, K), com n ≥ 3, assumindo que Σ possui invariante de Yamabe negativo. No caso em que temos a igualdade na estimativa, é possível demonstrar que uma vizinhança exterior de Σ em M é isométrica a ([0, t) × Σ, dt^2 + g|Σ). Esse resultado foi motivado pelos trabalhos de A. Mendes, que fez o caso para MOTS fechadas, e de A. Barros e C. Cruz, que obtiveram estimativas sharp para o volume de hipersuperfícies compactas mínimas estáveis com invariante de Yamabe não-positivo satisfazendo a condição de fronteira livre em uma variedade Riemanniana com limitação inferior na curvatura escalar e na curvatura média da fronteira, e o resultado de rigidez quando se tem a igualdade no volume.


  • Mostrar Abstract
  • In this work, we present some rigidity results for free boundary MOTS in initial data sets that satisfy certain natural geometric and energy conditions. The first result deals with compact free boundary hypersurfaces Σ in Riemannian manifolds (M, g) with boundary, where the scalar curvature of M satisfies R ≥ −(n + 1)n or R ≥ 0 and the mean curvature of Σ satisfies H ≤ n or H ≤ 0, respectively. In the proof, we use the theory of free boundary MOTS in initial data sets with boundary. This result was motivated by the work of G. J. Galloway and H. C. Jang, who obtained the same result for manifolds M with compact boundary Σ. In the second result, a lower bound is presented for the volume of compact stable free boundary MOTS Σ in initial data sets (M, g, K), with n ≥ 3, assuming that Σ has negative Yamabe invariant. In the case where the equality holds, it is possible to prove that an outer neighborhood of Σ in M is isometric to ([0, t)×Σ, dt^2+g|Σ). This result was motivated by the work of A. Mendes, who studied the case of closed MOTS, and the work of A. Barros and C. Cruz, who obtained sharp estimates for the volume of compact stable minimal hypersurfaces with nonpositive Yamabe invariant satisfying the free boundary condition in a Riemannian manifold with lower bounds on the scalar curvature and the mean curvature of the boundary, and the rigidity result when the volume saturates the inequality.

2
  • DAYLANNE FERREIRA RIBEIRO
  • RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES QUE MINIMIZAM O VOLUME EM VARIEDADES RIEMANNIANAS COM CURVATURA ESCALAR POSITIVA.

  • Orientador : FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • IVALDO PAZ NUNES
  • MARIA DE ANDRADE COSTA E SILVA
  • Data: 12/03/2025

  • Mostrar Resumo
  • Este trabalho estende o teorema de Mendes para dimensões superiores e para variedades Riemannianas com bordo. Primeiramente, obtemos uma desigualdade semelhante a de Mendes para o volume de hipersuperfícies fechadas
    conformemente planas que minimizam o volume em variedades Riemanninas de dimensão 7 com curvatura escalar positiva e curvatura de Ricci não negativa. Além disso, provamos que, no caso de igualdade, a hipersuperfície é isométrica à esfera de dimensão 6 e a variedade ambiente a um produto do tipo $(- \varepsilon, \varepsilon) \times {S}^6$. Também generalizamos esses resultados para hipersuperfícies com bordo livre e totalmente geodésico imersas em variedades de dimensão 5 ou 7 com bordo não vazio e curvatura média do bordo não negativa. Obtemos desigualdades análogas e mostramos que, no caso de igualdade, a hipersuperfície é isométrica ao hemisfério de dimensão 4 ou 6, enquanto a variedade ambiente é isométrica a um produto do tipo $(-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^4_+$ ou $(-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^6_+$.


  • Mostrar Abstract
  • This work extends Mendes' theorem to higher dimensions and to Riemannian manifolds with boundary. First, we obtain an inequality similar to Mendes' for the volume of closed, conformally flat, volume-minimizing hypersurfaces in 7- dimensional Riemannian manifolds with positive scalar curvature and nonnegative Ricci curvature. Furthermore, we prove that, in the case of equality, the hypersurface is isometric to the 6-dimensional sphere, and the ambient manifold is isometric to a product of the form $(-\varepsilon, \varepsilon) \ times {S}^6$. We also generalize these results to hypersurfaces with free boundary and totally geodesic boundary, immersed in 5- or 7-dimensional manifolds with nonempty boundary and nonnegative mean curvature of the boundary. We obtain
    analogous inequalities and show that, in the case of equality, the hypersurface is isometric to a 4- or 6-dimensional hemisphere, while the ambient manifold is isometric to a product of the form $ (-\varepsilon, \varepsilon) \times {S}^4_+$ or $(-\varepsilon, \ varepsilon) \times {S}^6_+$.

2024
Teses
1
  • DANIEL DA COSTA SILVA
  •  RIGIDEZ DE SEMIESPAÇOS ASSINTOTICAMENTE PLANOS

  • Orientador : CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • Leandro de Freitas Pessoa
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MARCOS RANIERI DA SILVA
  • MARIA DE ANDRADE COSTA E SILVA
  • Data: 16/01/2024

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  • Na primeira parte deste trabalho de tese, estudamos uma desigualdade do tipo massa-capacidade para semiespaços assintoticamente planos tridimensionais completos e suaves, com com cur vatura escalar não negativa e bordo médio convexo. No caso de igualdade, provamos que a variedade é isométrica ao semiespaço Schwarzschild. Na segunda parte, abordamos variedades estáticas com bordo e evidenciamos que seus potenciais estáticos não mudam de sinal, desde que sejam limitados e se anulem no horizonte. Além disso, deduzimos uma estimativa que relaciona a expansão assintótica e a massa de Hawking modificada. No caso de igualdade, a variedade é isométrica a R3+. Por fim, numa releitura de um resultado de Galloway-Cederbaum para esferas de fótons e sob hipóteses nas curvaturas Gaussiana e média, demonstramos um resultado no qual uma variedade compacta e estática é isométrica a uma porção do espaço Schwarzschild.


  • Mostrar Abstract
  • In the first part of this thesis, we investigate a mass-capacity type inequality for complete and smooth three-dimensional asymptotically flat half-spaces with non-negative scalar curvature and mean convex boundary. In the case of equality, we prove that the manifold is isometric to the Schwarzschild half-space. In the second part, we address static manifolds with boundary and demonstrate that their static potentials do not change sign, provided they are bounded and vanish at the horizon. Furthermore, we deduce an estimate relating the asymptotic expansion and the modified Hawking mass. In the case of equality, the manifold is isometric to R3+. Finally, in a reinterpretation of a result by Galloway-Cederbaum  for photon spheres and under assumptions on Gaussian and mean curvatures, we establish a result stating that a compact and static manifold is isometric to a portion of Schwarzschild space.

2
  • LUIZ RICARDO ABREU MELO
  • Contribuições à Geometria Espectral de Superfícies: Estimativas de Autovalores e Teoremas de Rigidez

  • Orientador : MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • ALMIR ROGERIO SILVA SANTOS
  • IVALDO PAZ NUNES
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • Data: 19/07/2024

  • Mostrar Resumo
  • Nesta tese, obtemos estimativas superiores para o primeiro autovalor do operador de estabilidade de hipersuperfícies de curvatura média constante (CMC) com bordo livre. Como aplicação, obtemos resultados de rigidez para a área de hipersuperfícies CMC sob condições do primeiro autovalor e sobre a curvatura do espaço ambiente. Ao mudar a condição de fronteira, obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor do problema de Jacobi-Steklov e, como aplicação, obtemos um resultado de rigidez envolvendo o comprimento do bordo da hipersuperfície. Comentamos ainda alguns desses resultados no contexto ponderado. Notamos que parte dos resultados ainda se aplica para o autovalor principal de uma MOTS imersa em uma 3-variedade M tipo-espaço em um espaço-tempo, se a condição de energia dominante for imposta e uma condição sobre a curvatura de M. Estabelecemos a segunda variação da área para hipersuperfícies do tipo-espaço com bordo livre imersas em um espaço-tempo. Além disso, obtemos condições para que essa imersão seja estável em um espaço-tempo Robertson-Walker. Por fim, apresentamos dois resultados de rigidez para superfícies CMC estáveis imersas em 3-variedades de curvatura de Ricci positiva quando a massa de Hawking é zero.


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  • Não se aplica.

2023
Teses
1
  • WAGNER XAVIER RIBEIRO
  • Aspectos geométricos de self-Shrinkers de um fluxo geométrico

  • Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • FÁBIO REIS DOS SANTOS
  • HILARIO ALENCAR DA SILVA
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MARCIO SILVA SANTOS
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • Data: 28/06/2023

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  • Na primeira parte desta tese estudaremos as soluções da equação S_r = −⟨x,N⟩, ou seja, o self-shrinker do ponto de vista da teoria de subvariedades e para tal faremos uso de princípios do máximo, a saber o princípio do máximo de Hopf e do princípio do máximo de Omori-Yau para obter resultados de rigidez, classificando as soluções da equação acima citada. Na segunda parte provaremos um resultado de controle de volume ponderado e faremos uma aplicação para o caso r = 2 , na terceira parte faremos a classificação tomando como base uma condição topológica e na quarta e última parte apresentaremos resultados de não existência em produtos warped.


  • Mostrar Abstract
  • In the first part of this thesis we will study the solutions of the equation Sr = −⟨x,N⟩, that is, the self-shrinkers from the point of view of the theory of submanifolds and for this we will make use of principles of some maximum, namely the Hopf maximum principle and the Omori-Yau maximum principle to obtain rigidity results, classifying the solutions of the aforementioned equation. In the second part we will prove a weighted volume control and obtain an application for the case r = 2, in the third part we will do the classification based on a topological condition, and in the fourth last part we will present non-existence results on warped products.

2
  • VANESSA LUCIA DA SILVA
  • Classificação de Superfícies Regradas como Self-Similar Solutions do Inverse Mean Curvature Flow no Espaço de Lorentz-Minkowski Tridimensional

  • Orientador : GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • GREGORIO PACELLI FEITOSA BESSA
  • GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO
  • HILARIO ALENCAR DA SILVA
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MARCIO SILVA SANTOS
  • Data: 26/07/2023

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  • Nesta tese, classificamos as superfícies regradas não degeneradas no espaço tridimensional de LorentzMinkowski que são translating solitons para o inverse mean curvature flow (IMCF). Em particular, provamos a existência de translating solitons não cilíndricos, que contrastam com o cenário Euclidiano. Neste mesmo ambiente semirriemanniano, também classificamos todas as superfícies regradas que são homothetic solutions para o IMCF.


  • Mostrar Abstract
  • In this thesis, we classify non-degenerate ruled surfaces in the three-dimensional Lorentz-Minkowski space that are translating solitons for inverse mean curvature flow (IMCF). In particular, we prove the existence of translation of non-cylindrical solitons, which contrast with the Euclidean scenario. In this same semi-Riemannian environment, we also classify all ruled surfaces that are homothetic solutions for the IMCF.

2022
Teses
1
  • MATHEUS BARBOSA MARTINS
  • Estimativas para o índice de Morse: resultados de cotação inferior, classificação, lacuna e rigidez

  • Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ALLAN GEORGE DE CARVALHO FREITAS
  • CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
  • IVALDO PAZ NUNES
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • Data: 25/11/2022

  • Mostrar Resumo
  • Nesta Tese de doutorado são provadas estimativas para o índice de Morse de hipersuperfícies mínimas em cinco contextos distintos:

    (1): Demonstramos a não existência de uma hipersuperfície mínima, dois-lados, fechada, conexa, imersa no espaço projetivo real RP^{n+1} com índice dois.

    (2): São provadas estimativas de rigidez e lacuna no índice para hipersuperfícies mínimas, fechadas, orientáveis, imersas em um produto finito de esferas. Tais estimativas são dadas em função dos raios e dimensões das esferas.

    (3): Tratamos de hipersuperfícies (compactas ou completas não-compactas) f-mínimas, orientáveis, com fronteira livre em um domínio Ω do espaço euclidiano ponderado (R^{n+1}, g_can, e^{−f}dµ). Neste caso, obtemos cotações inferiores para o índice por uma função afim envolvendo uma quantidade topológica. Caso a hipersuperfície seja compacta, esta quantidade é o seu primeiro número de Betti.

    (4): Consideramos operadores do tipo ∆_f + W − aK sobre superfícies em variedades Riemannianas ponderadas (M^3 , g, e^{−f}dµ), onde W é uma função localmente integrável, K é a curvatura Gaussiana da superfície e a é um inteiro positivo. São apresentados resultados sobre a topologia e crescimento de volume de superfícies com curvatura média ponderada constante f-estáveis ou com f-índice finito. Além disso, também obtemos cotação inferior para o primeiro autovalor do operador de estabilidade.

    (5): Obtemos fórmulas de monotonicidade e densidade para hipersuperfícies com fronteira não-vazia, propriamente mergulhadas em um produto warped do tipo I ×_h S^2 . Por fim, apresentamos um método para calcular uma região de estabilidade para cones totalmente geodésicos em um espaço conforme a produtos warped da forma I ×_h S^2 ou I ×_h R^2 com curvatura de Ricci constante. 


  • Mostrar Abstract
  • In this Doctoral Thesis, we obtain several estimates for the Morse index of minimal hypersurfaces in five different settings. More precisely,

    (1): We prove the nonexistence of a closed two-sided minimal hypersurface immersed in the real projective space RPn+1 with index two.

    (2): We prove a gap of the Morse index of a orientable, closed minimal hypersurface immersed in a finite product of spheres. Such estimates are given as a function of the radii and dimensions of the spheres.

    (3): We study orientable complete f-minimal free boundary hypersurfaces in a domain Ω of the weighted Euclidean space (R^{n+1}, g_{can}, e^{−f}dµ). In this case, we get lower bounds for the index by an affine function involving a topological quantity. If the hypersurface is compact, this quantity is its first Betti number.

    (4): We consider operators of the type ∆_f + W − aK on surfaces in weighted Riemannian manifolds (M^3 , g, e^{−f}dµ), where W is a locally integrable function, K is the Gaussian curvature of the surface, and a is a positive integer. We obtain some results about the topology and volume growth of geodesic ball on f-stable constant weighted mean curvature surfaces. In addition, we also get a lower bound for the first eigenvalue of the stability operator.

    (5): We obtain monotonicity and density formulas for hypersurfaces with a non-empty boundary, properly embedded in a warped product of type I ×_h S^2 . Finally, we present a method to calculate a region of stability for totally geodesic cones in a space conformal to warped products of the form I ×_h S^2 or I ×_h R^2 with curvature constant Ricci

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