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Dissertações |
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TALITA SANTOS DE ARAÚJO
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Interseções Estáveis de Conjuntos de Cantor
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Orientador : DAVI DOS SANTOS LIMA
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MEMBROS DA BANCA :
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DAVI DOS SANTOS LIMA
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RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA
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SERGIO AUGUSTO ROMAÑA IBARRA
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CARLOS GUSTAVO TAMM DE ARAÚJO MOREIRA
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Data: 16/02/2024
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Neste trabalho, estudamos interseções estáveis e diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor regulares.
Apresentamos técnicas que nos ajudam a detectar a existência de interseções estáveis ou extremais estáveis entre pares de conjuntos de Cantor. Iniciamos com o Gap Lemma de Newhouse, que utiliza a espessura dos conjuntos de Cantor para essa conclusão, o Teste da Espessura Generalizado, que estuda a interseção dos domínios de Markov e, por fim, a existência de um compacto recorrente no espaço das configurações relativas desses conjuntos de Cantor.
Apresentamos também alguns exemplos que mostram como tais técnicas são aplicadas. Em certos exemplos, destacamos que uma das técnicas funciona, enquanto as demais podem falhar, mostrando assim a importância do estudo de cada uma delas.
Finalizamos com um breve estudo da topologia da diferença aritmética de conjuntos de Cantor afins, apresentando uma família de conjuntos de Cantor cuja diferença aritmética é quase sempre um R-Cantorval.
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In this work, we study stable intersections and arithmetic differences of regular Cantor sets.
We present techniques that help us to detect the existence of stable intersections or extremals stable intersections between pairs of Cantor sets. We start with the Gap Lemma of Newhouse, which uses the thickness of the Cantor sets to this conclusion, the Generalized Thickness Test, which studies the intersection of Markov domains and finally, the existence of a recurrent compact in space of the relative configurations of these Cantor sets.
We also present some examples that show how such techniques are applied registered. In certain examples, we highlight that one of the techniques works, while the others may fail, thus showing the importance of studying each one from them.
We finish with a brief study of the topology of the arithmetic difference of affine Cantor sets, presenting a family of Cantor sets whose the arithmetic difference is almost always an R-Cantorval.
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GLEYDSON SANTOS DA SILVA
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Resposta Quadrática de Sistemas Dinâmicos Aleatórios e Determinísticos
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Orientador : RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA
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MEMBROS DA BANCA :
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DAVI DOS SANTOS LIMA
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RAFAEL JOSE ALVAREZ BILBAO
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RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA
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Data: 16/02/2024
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O presente trabalho consiste no estudo do artigo Quadratic Response of Random and Deterministic Dynamical Systems [1] o qual investiga condições suficientes para que sistemas dinâmicos apresentem uma resposta linear e que, se em adição a tais condições, forem observadas também outras condições o sistema apresente, além disso, uma resposta quadrática nas suas medidas estacionárias. Destacamos que, embora o artigo original trate também de sistemas dinâmicos aleatórios, o foco do atual trabalho está no estudo dos sistemas dinâmicos determinísticos, enfaticamente no estudo dos sistemas dinâmicos determinísticos de aplicações expansoras no círculo unitário, o que constitui uma vasta gama de sistemas dinâmicos determinísticos e, como veremos, manifestam as condições desejadas e, portanto, exibem respostas linear e/ou quadrática em suas medidas invariantes quando submetidos a pequenas perturbações.
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The present work involves the study of the article "Quadratic Response of Random and Deterministic Dynamical Systems" [1], which investigates sufficient conditions for dynamic systems to exhibit a linear response. Additionally, if, in addition to such conditions, other conditions are also observed, the system may exhibit a quadratic response in its stationary measures. It is noteworthy that, although the original article also deals with random dynamical systems, the focus of the current work is on the study of deterministic dynamical systems, emphatically on the study of deterministic dynamical systems with expanding applications on the unit circle. This constitutes a wide range of deterministic dynamical systems and, as we will see, they manifest the desired conditions and, therefore, exhibit linear and/or quadratic responses in their invariant measures when subjected to small perturbations.
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VINICIUS GUARDIANO SOUZA
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Estimativas de área e do espectro para superfícies mínimas estáveis
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Orientador : MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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MEMBROS DA BANCA :
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MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
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MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
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DAVI MÁXIMO ALEXANDRINO NOGUEIRA
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Data: 26/02/2024
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Esta dissertação se baseia nos resultados recentes de O. Munteanu, C.-J. Sung e J. Wang, publicados em 2023 no artigo da referência [MSW23]. A nossa principal motivação reside no estudo do crescimento da área de bolas geodésicas e estimativas para o espectro do operador laplaciano em superfícies mínimas estáveis completas em uma variedade tridimensional com limitação na curvatura escalar. Após uma revisão sobre os tópicos e técnicas envolvidos, focamos inicialmente no caso do espaço Euclideano R3. Neste caso, obtemos uma estimativa de área ótima que nos permite afirmar que as superfícies mínimas estáveis possuem crescimento de área exatamente como o plano Euclidiano. Isto é suficiente para provar que superfícies mínimas estáveis completas em R3 são planos. Esta é uma conclusão já conhecida pelas contribuições de Do Carmo e Peng [dCP79], Fisher-Colbrie e Schoen [FCS80], e Pogorelov [Pog81]. A técnica para provar a estimativa de área pode ser adaptada de modo a obter estimativas de área no caso de uma variedade ambiente mais geral.
Na segunda parte do trabalho, focamos em estimativas superiores para o ínfimo do espectro de hipersuperfícies mínimas estáveis. Inicialmente, recordamos que o ínfimo do espectro está estreitamente relacionado com o crescimento do volume de bolas geodésicas. Motivados por este fato, obtemos nossas estimativas utilizando funções testes que são construídas em termos da função de Green. Por uma questão técnica, estas estimativas valem apenas para hipersuperfícies mínimas estáveis em variedades completas com dimensão até seis.
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This dissertation is based on the recent results of O. Munteanu, C.-J. Sung, and J. Wang, published in 2023 in the referenced article [MSW23]. Our main motivation lies in the study of the area growth of geodesic balls and estimates for the bottom of the spectrum of the Laplacian operator on stable minimal surfaces in a three-dimensional manifold with scalar curvature bounded from below. After a review of the topics and techniques involved, we initially focus on the case of Euclidean space R3. In this case, we obtain an optimal area estimate that allows us to assert that stable minimal surfaces have area growth exactly like the Euclidean plane. This is sufficient to prove that complete stable minimal surfaces in R3 are planes. This conclusion is already known from the contributions of Do Carmo and Peng [dCP79], Fisher-Colbrie and Schoen [FCS80], and Pogorelov [Pog81]. The technique for proving the area estimate can be adapted to obtain area estimates in the case of a more general ambient manifold.
In the second part of the work, we focus on upper estimates for the bottom of the spectrum of stable minimal hypersurfaces. Initially, we recall that the bottom of the spectrum is closely related to the growth of the volume of geodesic balls. Motivated by this fact, we obtain our estimates using test functions constructed in terms of the Green’s function. Due to technical reasons, these estimates are only valid for stable minimal hypersurfaces in complete manifolds with dimension up to six.
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MAXMILIAN BARROS DE SIQUEIRA
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VERSÕES DO TEOREMA TUBULAR DE BOCHNER
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Orientador : RENAN DANTAS MEDRADO
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MEMBROS DA BANCA :
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GUSTAVO HOEPFNER
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MARCIO CAVALCANTE DE MELO
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RENAN DANTAS MEDRADO
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Data: 29/04/2024
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O objetivo deste trabalho é estudar o clássico Teorema tubular de Bochner com uma perspectiva mais moderna.
O clássico Teorema tubular de Bochner é apresentado na teoria clássica de funções holomorfas e nos dá uma condição suficiente para a extensão de funções holomorfas definidas em conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$, i.e., em conjuntos da forma $U\times\mathbb{R}^m$, onde $U$ é um subconjunto aberto, conexo e não vazio de $\mathbb{R}^m$. {Apresentamos} neste texto as ideias do artigo \cite{JH2} de J. Hounie, as quais nos sugerem uma demonstração alternativa para o Teorema tubular de Bochner. Para um completo entendimento desta demonstração precisaremos estabelecer algumas noções e resultados sobre convexidade, discos analíticos e Fórmula de Aproximação de Baouendi-Treves. Precisaremos apenas do caso particular da Fórmula de Baouendi-Treves, para a estrutura gerada pelos operadores de Cauchy-Riemann, todavia para tornar o texto mais completo primeiro apresentaremos para estruturas arbitrárias e em seguida para a estrutura desejada (destacando que pode-se obter a convergência em outras topologias, mas neste texto apresentaremos apenas a convergência uniforme).
Apresentaremos também uma versão microlocal para o Teorema tubular de Bochner. Nesta versão usaremos uma classe de transformadas FBI (introduzida em \cite{BH12}), a noção de conjunto frente de onda analítico e a relação entre esses conceitos. As ideias presentes na segunda parte deste trabalho estão no artigo \cite{SB} de S. Berhanu. Vale destacar que usando essa segunda versão poderemos estender funções holomorfas definidas em conjuntos mais gerais do que conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$.
que conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$.
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The aim of this work is to study the classical Bochner Tubular Theorem from a more modern perspective.
The classic Bochner Tubular Theorem is presented in the classical theory of holomorphic functions and provides a sufficient condition for the extension of holomorphic functions defined on tubular sets in $\mathbb{C}^m$, i.e., sets of the form $U\times\mathbb{R}^m$, where $U$ is an open, connected, non-empty subset of $\mathbb{R}^m$. We present the ideas from the paper \cite{JH2}, which suggest an alternative proof for the Bochner Tubular Theorem. For a complete understanding of this proof, we need to establish some notions and results about convexity, analytic discs, and the Baouendi-Treves Approximation Formula. We only need the particular case of the Baouendi-Treves Formula for the structure generated by the Cauchy-Riemann operators. However, to make the text more comprehensive, we will first present it for arbitrary structures and then for the desired structure (emphasizing that the convergence of the approximate formula can be obtained in other topologies, but in this text it is sufficient to consider only the uniform convergence).
We will also present a microlocal version of the Bochner Tubular Theorem. In this version, we will use a class of FBI transforms (introduced in \cite{BH12}), the notion of analytic wavefront set, and a relation between these concepts. The ideas in the second part of this work are in the paper \cite{SB} written by S. Berhanu. It is important to observe that using this second version, we can extend holomorphic functions defined on sets more general than tubular sets in $\mathbb{C}^m$.
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VICTOR FERREIRA DE ARAUJO SANTOS
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Breathers e Dinâmica de soluções para equações do tipo Korteweg-de Vries
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Orientador : MARCIO CAVALCANTE DE MELO
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MEMBROS DA BANCA :
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ADAN JOSE CORCHO FERNANDEZ
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DAVI DOS SANTOS LIMA
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MARCIO CAVALCANTE DE MELO
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Data: 16/07/2024
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Nesta dissertação, vamos seguir o trabalho de Munõz e Ponce sobre comportamento assintótico de soluções para a equação do tipo KdV. Na primeira parte do trabalho vamos identificar uma classe de não linearidades para a equação do tipo KdV para o qual estas não possuem soluções do tipo Breathers. Em particular provaremos que a clássica equação de KdV não admitem Breathers. Na segunda parte do trabalho, baseado em identidades do tipo Virial, mostraremos que em regiões linearmente dominadas, para certos modelos do tipo KdV as soluções com normas pequenas admitem decaimento no infinito.
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In this dissertation, we will follow the work of Munõz and Ponce [48] on the asymptotic behavior of solutions for the KdV-type equation. In the rst part of the work, we will identify a class of nonlinearities for the KdV-type equation for which these do not have breather solutions. In particular, we will prove that the classical KdV equation does not admit breathers. In the second part of the work, based on Virial-type identities, we will show that in linearly dominated regions, for certain KdV-type models, solutions with small norms exhibit decay at in nity
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BÁRBARA AMORIM NETO
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HIPOELIPTICIDADE GEVREY OTIMA PARA UMA CLASSE DE OPERADORES
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Orientador : RENAN DANTAS MEDRADO
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MEMBROS DA BANCA :
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GERARDO JONATAN HUAROTO CARDENAS
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Luis Fernando Ragognette
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RENAN DANTAS MEDRADO
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Data: 30/09/2024
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Neste trabalho, exploramos a relação entre a regularidade de Gevrey e a transformação FBI, generalizando resultados conhecidos do caso analítico real (s = 1). Considerando operadores diferenciais parciais na forma de soma de quadrados de campos vetoriais. Estudamos o problema da hipoelipticidade Gevrey. Nosso resultado principal é para a classe de operadores L=\partial_x^2+x^{2(p-1)}\partial_{t_1}^2+x^{2(q-1)}\partial_{t_2}^2 (com 1\leq p \leq q). Mostraremos que L é G^s-hipoeliptico em alguma vizinhança de 0 se e somente se s \geq q/p. Destacamos que essa monografia segue de perto o trabalho de 1997 de M Christ.
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Is to explore the relation between Gevrey regularity and the FBI transform (see 2.1), generalizing known results from the real analytic case (s = 1). Considering par tial differential operators in the form of sums of squares of vector fields, we study the problem of Gevrey hypoellipticity. Our main result is for the class of operators L=\partial_x^2+x^{2(p-1)}\partial_{t_1}^2+x^{2(q-1)}\partial_{t_2}^2 (com 1\leq p \leq q). We show that L is G^s-hypoelliptic in some neighborhood of 0 if and only if s \geq q/p. This monograph follows the M Christ's work from 1997.
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