PPGMAT PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA Telefone/Ramal: 32141896
Dissertações/Teses

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2022
Dissertações
1
  • RODRIGO COSTA
  • Classificação das subvariedades totalmente umbílicas de Sn × R

  • Orientador : CARLOS GONCALVES DO REI FILHO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • CARLOS GONCALVES DO REI FILHO
  • FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
  • SAMUEL DA CRUZ CANEVARI
  • Data: 24/03/2022

  • Mostrar Resumo
  • Nesta dissertação, apresentamos uma classificação das subvariedades umbílicas de dimensão e codimensão arbitrária de Sn × R, baseado no trabalho de Bruno Mendonça e Ruy Tojeiro (2013). A classificação que será apresentada, estende a classificação das superfícies umbílicas em S2 × R por Souam e Toubiana (2009), bem como a descrição local das hipersuperfícies umbílicas de Sn × R por Van der Veken e Vrancken (2008), para codimensão maior que um. Em ambos os trabalhos, as superfícies umbílicas e hipersuperfícies umbílicas são de rotação. Será mostrado que as subvariedades estudadas neste trabalho também são de rotação e apresentaremos parametrizações explicitas.


  • Mostrar Abstract
  • In this work, we present a classification of the arbitrary dimension and codimension umbilic submanifolds of Sn × R, based on the work of Bruno Mendonça and Ruy Tojeiro (2013). The classification that will be presented extends the classification of umbilical surfaces in S2 × R by Souam and Toubiana (2009), as well as the local description of umbilical hypersurfaces in Sn × R by Van der Veken and Vrancken (2008), to a codimension greater than one. In both works, the umbilical surfaces and the umbilical hypersurfaces are rotational. It will be shown that the submanifolds studied in this work are also rotational and we will present explicit parameterizations.

2021
Dissertações
1
  • MANUEL VINICIUS RIBEIRO LOPES LIMA
  • Estimativas de índice para hipersuperfícies mínimas com fronteira livre

  • Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • DARLAN FERREIRA DE OLIVEIRA
  • Data: 19/03/2021

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  • Nesta dissertação, apresentaremos alguns resultados sobre estimativas para o índice de uma hipersuperfície mínima com fronteira livre propriamente mergulhada em um domínio estritamente convexo em média do espaço Euclidiano. As estimativas descritas neste trabalho foram obtidas por L. Ambrozio, A. Carlotto e B. Sharp em [2], onde eles demonstraram, dentre outras coisas, que o índice de uma hipersuperfície mínima com as propriedades descritas acima é limitado por baixo por uma função linear da dimensão do seu primeiro grupo de homologia relativa. Em ambientes tridimensionais, o índice de uma superfície mínima com fronteira livre é limitado por baixo por uma função linear do gênero e do número de componentes conexas da fronteira da superfície.


  • Mostrar Abstract
  • In this dissertation, we present some results on index estimates for properly embedded free boundary minimal hypersurfaces in strictly mean convex domains of Euclidean space. The estimates described in this work were obtained by L. Ambrozio, A. Carlotto and B. Sharp in [2], in which they showed that the index of a minimal hypersurface with the properties described above is bounded from below by a linear function of the dimension of its first relative homology group. In three-dimensional ambients, the index of a free boundary minimal surface is bounded from below by a linear function of its genus and the number of boundary components.

2
  • FRANCISCO CLEONE NERES DE LIMA
  • ESTIMANDO O PRIMEIRO AUTOVALOR DO LAPLACIANO DE HIPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS

  • Orientador : CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABDENAGO ALVES DE BARROS
  • CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • Data: 30/03/2021

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  • No artigo "A first eigenvalue estimative for minimal hypersurfaces". H. Choi e A. N. Wang obtiveram uma cota inferior para o primeiro autovalor do Laplaciano deuma hipersuperfície mínima compacta orientável mergulhada em uma variedade compacta orientável com curvatura de Ricci positiva. Nessa dissertação, usando argumentos de espaços de recobrimento provaremos esse mesmo resultado sem suposições sobre orientabilidade. Além disso, utilizaremos a Fórmula de Reilly que é na verdade uma versão obtida por integração da Fórmula de Bochner. Combinando o resultado de estimativa obtida com um teorema de Yang e Yau, encontramos uma cota superior para a área de uma superfície mínima mergulhada em S3 apenas em função datopologia, mais precisamente em função do gênero da superfície.


  • Mostrar Abstract
  • In the article "A first eigenvalue estimate for minimal hypersurfaces" H. Choi e A. N. Wang obtained a lower bound for the first eigenvalue of the  Laplacian of a compact orientable embedded minimal hypersurface  in an compact orientable manifold with  Positive Ricci curvature. In this dissertation, using covering space argument we prove this result dropping the orientability assumption. Moreover,  we use Reilly's Formula was used, which is actually a version obtained by integrating of Bochner's Formula.  Combining Choi and Wang's estimate  with  Yang and Yau's Theorem,  we  found a upper bounds estimate for the area of an embedded minimal surface in S3 only depending on its topology, more precisely only in terms of the genus of the surface.

3
  • ALLAN KENEDY SANTOS SILVA
  • Estimativas de volume de subvariedades mínimas compactas imersas em alguns espacos simétricos de posto 1

  • Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • FÁBIO REIS DOS SANTOS
  • HENRIQUE FERNANDES DE LIMA
  • MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA
  • Data: 31/03/2021

  • Mostrar Resumo
  • A teoria das superfícies mínimas surgiu com um problema proposto por Lagrange, que consistia no seguinte: dada uma curva fechada sem auto-intersecções, achar a superfície de menor área que tem aquela curva como fronteira. Tal problema ficou conhecido como o Problema de Plateau. Passaram-se cerca de 16 anos desde os trabalhos de Lagrange ate fossem descobertos exemplos não triviais de superfícies mínimas devidos a Meusnier. A teoria ficou estagnada por 60 anos ate que Scherk encontrou novos exemplos de mínimas. Com os trabalhos de Weierstrass foi possível obter mais exemplos dessas superfícies. Daí por diante houveram grandes desenvolvimentos da teoria, se tornando um dos campos mais férteis da Geometria Diferencial. Uma classe de problemas estudados e o de estimar o volume de subvariedades mínimas imersas em certas variedades ambientes, como esferas, hiperplanos, espacos projetivos etc. O objetivo do presente trabalho é fornecer estimativas inferiores de volume de subvariedades mínimas compactas imersas em certos espaços simetricos de posto 1, a saber: a esfera unitária Sn, e os espaços projetivos real RPn, complexo CPn e quaterniônico HPn.

    Será mostrado que se Mm é uma subvariedade mínima da esfera Sn, então volM >=  V_c(n;M) em que V_c(n;M) é o n-volume conforme de M. Uma outra estimativa para isto é vol(M)>= c_n, em que c_n = vol(Sn). No caso de M estar imersa em espacos projetivos tem-se os limitantes inferiores: c_n/2 em RPm, c_{n+1}/2\pi em CPm e c_{n+2}/2\pi^2 em HPm.


  • Mostrar Abstract
  • The theory of minimal surfaces came up with a problem proposed by Lagrange, which consisted

    of the following: given a closed curve without self-intersections, find the surface of

    smallest area that has that curve as boundary. Such a problem became known as

    the Plateau Problem. It took about 16 years from Lagrange's work to discover non-trivial

    examples of minimal surfaces due to Meusnier. The theory was stagnant for 60 years until

    Scherk found new examples of minimal surfaces. With the work of Weierstrass it was possible to

    obtain more examples of these surfaces. Thereafter there were major developments in theory,

    becoming one of the most fertile fields of Differential Geometry. One class of problems studied

    is that of estimate the volume of minimal submanifolds immersed in certain ambient

    manifolds, such as spheres, hyperplanes, projective spaces, etc. The objective of the present

    work is to provide lower bounds of volume of minimal compact submanifolds immersed

    in certain symmetrical spaces of rank 1, namely: the unitary sphere Sn, and the real projective space RPn,

    complex projective space CPn and quaternionic projective space HPn. It will be shown that if Mm is a

    minimal submanifold of Sn, then volM >=V_c(n;M) where V_c(n;M) is the n-conformal volume

    of M. Another estimate for this is volM>=c_n, where c_n = vol(Sn). In the case of

    M being immersed in projective spaces, we have the lower bounds: c_n/2 in RPm, c_{n+1}/2\pi in

    CPm and c_{n+2}=2\pi^2 in HPm.

4
  • CARLOS ALBERTO SANTOS BARBOSA
  • PARABOLICIDADE, ESPAÇOS DE FUNÇÕES HARMÔNICAS E TOPOLOGIA NO INFINITO DE UMA VARIEDADE COMPLETA

  • Orientador : MARCOS RANIERI DA SILVA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • MARCOS RANIERI DA SILVA
  • FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO
  • MARCIO SILVA SANTOS
  • Data: 16/04/2021

  • Mostrar Resumo
  • O objetivo deste trabalho é investigar a relação intrínseca entre determinados espaços de funções harmônicas em uma variedade completa e sua topologia no infinito. Assumindo limites apropriados sobre a curvatura de Ricci, obtemos estimativas para as soluções das equações de Laplace e do calor. Esta teoria tem importantes aplicações à geometria e topologia de variedades, algumas das quais são apresentadas aqui. Em uma variedade com mais de um fim, construímos um espaço de funções harmônicas com propriedades notáveis. Por sua vez, estimar a dimensão desse espaço por meio de considerações geométricas nos ajudará a entender a topologia no infinito da variedade. Mais especificamente, mostraremos uma generalização do celebrado Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll.


  • Mostrar Abstract
  • The aim of this work is to investigate the intrinsic relationship between certain spaces of harmonic functions on a complete manifold and their topology in the infinite. Assuming appropriate bounds on the Ricci curvature, we obtain estimates for the solutions of the Laplace and heat equations. This theory has important applications to geometry and topology of manifolds, some of which are presented here. In a manifold with more than one end, we have built a space of harmonic functions with remarkable properties. In turn, estimating the dimension of this space through geometric considerations will help us to understand the topology in the infinite of the manifold. More specifically, we will show a generalization of the celebrated Cheeger-Gromoll Splitting theorem.

5
  • CARLOS HENRIQUE DA SILVA
  • Caracterização de Hipersuperfície com Curvatura r-Média Constante

  • Orientador : GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO
  • HILARIO ALENCAR DA SILVA
  • GREGORIO PACELLI FEITOSA BESSA
  • Data: 26/08/2021

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  • O objetivo desta dissertação é apresentar uma demostração do teorema de Sebastián Montiel e Antonio Ros que caracterizam as hipersuperfícies compactas, mergulhadas e com r-ésima curvatura média constante em formas espaciais. Esse teorema generaliza o teorema clássico de Alexandrov e estabelece que

    "As únicas hipersuperfícies compactas, sem fronteira e mergulhadas no Espaço Euclidiano, no hemisfério aberto da esfera Euclidiana ou no espaço hiperbólico, com curvatura r-média constante para algum r=1,...,n, são as hiperesferas geodésicas."

    Observamos ainda que, apesar de seguirmos as ideias de Montiel e Ros, neste trabalho apresentamos uma nova abordagem para algumas etapas da demonstração.


  • Mostrar Abstract
  • This thesis aims to present a proof of a theorem of Sebastián Montiel and Antonio Ros which characterizes the compact hypersurfaces, without boundary, with constant r-mean curvature embedded in the space forms. This theorem generalizes the classical theorem of Alexandrov and states that

    "The only compact, without boundary, hypersurfaces with constant r-mean curvature for some r=1,...,n, embedded in the Euclidean space, in the open hemisphere of the Euclidean sphere, or in the hyperbolic space, are the geodesic hyperspheres."


    We remark that, despite we follow the ideas of Montiel and Ros, we give a new approach for some steps of the proof presented here.

2020
Dissertações
1
  • DEIVID SANTOS DE ALMEIDA
  • Unicidade de Hipersuperfícies Capilares Estáveis em uma Bola

  • Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA
  • CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ
  • FRANCISCO VANDERSON MOREIRA DE LIMA
  • MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE
  • Data: 13/03/2020

  • Mostrar Resumo
  • A. Ros e E. S. Vergasta, juntamente com I. Nunes em um trabalho independente, classificaram as superfícies CMC estáveis com bordo livre na bola euclidiana tridimensional. Neste trabalho iremos apresentar uma generalização feita por G. Wang e C. Xia para hipersuperfícies capilares estáveis em bolas geodésicas do espaço euclidiano, do espaço hiperbólico e da esfera unitária. A ideia principal da demonstração é a utilização de uma fórmula do tipo Minkowski que nos fornece uma família de funções testes importantes que são chaves na prova do teorema, pois anulam o termo do bordo na fórmula da segunda variação da energia. Concluímos a dissertação mostrando as alterações necessárias para resolver o problema exterior em um dos três modelos citados. Tomaremos como exemplo o caso hiperbólico.


  • Mostrar Abstract
  • A. Ros e E. S. Vergasta, juntamente com I. Nunes em um trabalho independente, classificaram as superfícies CMC estáveis com bordo livre na bola euclidiana tridimensional. Neste trabalho iremos apresentar uma generalização feita por G. Wang e C. Xia para hipersuperfícies capilares estáveis em bolas geodésicas do espaço euclidiano, do espaço hiperbólico e da esfera unitária. A ideia principal da demonstração é a utilização de uma fórmula do tipo Minkowski que nos fornece uma família de funções testes importantes que são chaves na prova do teorema, pois anulam o termo do bordo na fórmula da segunda variação da energia. Concluímos a dissertação mostrando as alterações necessárias para resolver o problema exterior em um dos três modelos citados. Tomaremos como exemplo o caso hiperbólico.

2
  • NEMUEL ROCHA LIMA
  • Estabilidade de soluções do tipo Solitons para a equação generalizada de Korteweg-de Vries

  • Orientador : MARCIO CAVALCANTE DE MELO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ADAN JOSE CORCHO FERNANDEZ
  • ISNALDO ISAAC BARBOSA
  • MARCIO CAVALCANTE DE MELO
  • RENAN DANTAS MEDRADO
  • ROBERTO DE ALMEIDA CAPISTRANO FILHO
  • Data: 20/03/2020

  • Mostrar Resumo
  • Neste trabalho fazemos um estudo de estabilidade global das soluções especiais, chamadas
    solitons, com respeito ao problema de Cauchy (PVI) associado à equação não-linear de Korteweg-de
    Vries generalizada (gKdV), para p = 2; 3; 4.
    Para a prova do resultado de estabilidade, usamos a abordagem de Weinstein que foi revisada
    recentemente no artigo de Muñoz.


  • Mostrar Abstract
  • Neste trabalho fazemos um estudo de estabilidade global das soluções especiais, chamadas
    solitons, com respeito ao problema de Cauchy (PVI) associado à equação não-linear de Korteweg-de
    Vries generalizada (gKdV), para p = 2; 3; 4.
    Para a prova do resultado de estabilidade, usamos a abordagem de Weinstein que foi revisada
    recentemente no artigo de Muñoz.

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