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Dissertações/Teses

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2024

	Dissertações
1	TALITA SANTOS DE ARAUJO Interseções Estáveis de Conjuntos de Cantor Orientador : DAVI DOS SANTOS LIMA MEMBROS DA BANCA : DAVI DOS SANTOS LIMA RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA SERGIO AUGUSTO ROMAÑA IBARRA CARLOS GUSTAVO TAMM DE ARAÚJO MOREIRA Data: 16/02/2024 Mostrar Resumo Neste trabalho, estudamos interseções estáveis e diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor regulares. Apresentamos técnicas que nos ajudam a detectar a existência de interseções estáveis ou extremais estáveis entre pares de conjuntos de Cantor. Iniciamos com o Gap Lemma de Newhouse, que utiliza a espessura dos conjuntos de Cantor para essa conclusão, o Teste da Espessura Generalizado, que estuda a interseção dos domínios de Markov e, por fim, a existência de um compacto recorrente no espaço das configurações relativas desses conjuntos de Cantor. Apresentamos também alguns exemplos que mostram como tais técnicas são aplicadas. Em certos exemplos, destacamos que uma das técnicas funciona, enquanto as demais podem falhar, mostrando assim a importância do estudo de cada uma delas. Finalizamos com um breve estudo da topologia da diferença aritmética de conjuntos de Cantor afins, apresentando uma família de conjuntos de Cantor cuja diferença aritmética é quase sempre um R-Cantorval. Mostrar Abstract In this work, we study stable intersections and arithmetic differences of regular Cantor sets. We present techniques that help us to detect the existence of stable intersections or extremals stable intersections between pairs of Cantor sets. We start with the Gap Lemma of Newhouse, which uses the thickness of the Cantor sets to this conclusion, the Generalized Thickness Test, which studies the intersection of Markov domains and finally, the existence of a recurrent compact in space of the relative configurations of these Cantor sets. We also present some examples that show how such techniques are applied registered. In certain examples, we highlight that one of the techniques works, while the others may fail, thus showing the importance of studying each one from them. We finish with a brief study of the topology of the arithmetic difference of affine Cantor sets, presenting a family of Cantor sets whose the arithmetic difference is almost always an R-Cantorval.
2	GLEYDSON SANTOS DA SILVA Resposta Quadrática de Sistemas Dinâmicos Aleatórios e Determinísticos Orientador : RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA MEMBROS DA BANCA : DAVI DOS SANTOS LIMA RAFAEL JOSE ALVAREZ BILBAO RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA Data: 16/02/2024 Mostrar Resumo O presente trabalho consiste no estudo do artigo Quadratic Response of Random and Deterministic Dynamical Systems [1] o qual investiga condições suficientes para que sistemas dinâmicos apresentem uma resposta linear e que, se em adição a tais condições, forem observadas também outras condições o sistema apresente, além disso, uma resposta quadrática nas suas medidas estacionárias. Destacamos que, embora o artigo original trate também de sistemas dinâmicos aleatórios, o foco do atual trabalho está no estudo dos sistemas dinâmicos determinísticos, enfaticamente no estudo dos sistemas dinâmicos determinísticos de aplicações expansoras no círculo unitário, o que constitui uma vasta gama de sistemas dinâmicos determinísticos e, como veremos, manifestam as condições desejadas e, portanto, exibem respostas linear e/ou quadrática em suas medidas invariantes quando submetidos a pequenas perturbações. Mostrar Abstract The present work involves the study of the article "Quadratic Response of Random and Deterministic Dynamical Systems" [1], which investigates sufficient conditions for dynamic systems to exhibit a linear response. Additionally, if, in addition to such conditions, other conditions are also observed, the system may exhibit a quadratic response in its stationary measures. It is noteworthy that, although the original article also deals with random dynamical systems, the focus of the current work is on the study of deterministic dynamical systems, emphatically on the study of deterministic dynamical systems with expanding applications on the unit circle. This constitutes a wide range of deterministic dynamical systems and, as we will see, they manifest the desired conditions and, therefore, exhibit linear and/or quadratic responses in their invariant measures when subjected to small perturbations.
3	VINICIUS GUARDIANO SOUZA Estimativas de área e do espectro para superfícies mínimas estáveis Orientador : MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE MEMBROS DA BANCA : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE DAVI MÁXIMO ALEXANDRINO NOGUEIRA Data: 26/02/2024 Mostrar Resumo Esta dissertação se baseia nos resultados recentes de O. Munteanu, C.-J. Sung e J. Wang, publicados em 2023 no artigo da referência [MSW23]. A nossa principal motivação reside no estudo do crescimento da área de bolas geodésicas e estimativas para o espectro do operador laplaciano em superfícies mínimas estáveis completas em uma variedade tridimensional com limitação na curvatura escalar. Após uma revisão sobre os tópicos e técnicas envolvidos, focamos inicialmente no caso do espaço Euclideano R3. Neste caso, obtemos uma estimativa de área ótima que nos permite afirmar que as superfícies mínimas estáveis possuem crescimento de área exatamente como o plano Euclidiano. Isto é suficiente para provar que superfícies mínimas estáveis completas em R3 são planos. Esta é uma conclusão já conhecida pelas contribuições de Do Carmo e Peng [dCP79], Fisher-Colbrie e Schoen [FCS80], e Pogorelov [Pog81]. A técnica para provar a estimativa de área pode ser adaptada de modo a obter estimativas de área no caso de uma variedade ambiente mais geral. Na segunda parte do trabalho, focamos em estimativas superiores para o ínfimo do espectro de hipersuperfícies mínimas estáveis. Inicialmente, recordamos que o ínfimo do espectro está estreitamente relacionado com o crescimento do volume de bolas geodésicas. Motivados por este fato, obtemos nossas estimativas utilizando funções testes que são construídas em termos da função de Green. Por uma questão técnica, estas estimativas valem apenas para hipersuperfícies mínimas estáveis em variedades completas com dimensão até seis. Mostrar Abstract This dissertation is based on the recent results of O. Munteanu, C.-J. Sung, and J. Wang, published in 2023 in the referenced article [MSW23]. Our main motivation lies in the study of the area growth of geodesic balls and estimates for the bottom of the spectrum of the Laplacian operator on stable minimal surfaces in a three-dimensional manifold with scalar curvature bounded from below. After a review of the topics and techniques involved, we initially focus on the case of Euclidean space R3. In this case, we obtain an optimal area estimate that allows us to assert that stable minimal surfaces have area growth exactly like the Euclidean plane. This is sufficient to prove that complete stable minimal surfaces in R3 are planes. This conclusion is already known from the contributions of Do Carmo and Peng [dCP79], Fisher-Colbrie and Schoen [FCS80], and Pogorelov [Pog81]. The technique for proving the area estimate can be adapted to obtain area estimates in the case of a more general ambient manifold. In the second part of the work, we focus on upper estimates for the bottom of the spectrum of stable minimal hypersurfaces. Initially, we recall that the bottom of the spectrum is closely related to the growth of the volume of geodesic balls. Motivated by this fact, we obtain our estimates using test functions constructed in terms of the Green’s function. Due to technical reasons, these estimates are only valid for stable minimal hypersurfaces in complete manifolds with dimension up to six.
4	MAXMILIAN BARROS DE SIQUEIRA VERSÕES DO TEOREMA TUBULAR DE BOCHNER Orientador : RENAN DANTAS MEDRADO MEMBROS DA BANCA : GUSTAVO HOEPFNER MARCIO CAVALCANTE DE MELO RENAN DANTAS MEDRADO Data: 29/04/2024 Mostrar Resumo O objetivo deste trabalho é estudar o clássico Teorema tubular de Bochner com uma perspectiva mais moderna. O clássico Teorema tubular de Bochner é apresentado na teoria clássica de funções holomorfas e nos dá uma condição suficiente para a extensão de funções holomorfas definidas em conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$, i.e., em conjuntos da forma $U\times\mathbb{R}^m$, onde $U$ é um subconjunto aberto, conexo e não vazio de $\mathbb{R}^m$. {Apresentamos} neste texto as ideias do artigo \cite{JH2} de J. Hounie, as quais nos sugerem uma demonstração alternativa para o Teorema tubular de Bochner. Para um completo entendimento desta demonstração precisaremos estabelecer algumas noções e resultados sobre convexidade, discos analíticos e Fórmula de Aproximação de Baouendi-Treves. Precisaremos apenas do caso particular da Fórmula de Baouendi-Treves, para a estrutura gerada pelos operadores de Cauchy-Riemann, todavia para tornar o texto mais completo primeiro apresentaremos para estruturas arbitrárias e em seguida para a estrutura desejada (destacando que pode-se obter a convergência em outras topologias, mas neste texto apresentaremos apenas a convergência uniforme). Apresentaremos também uma versão microlocal para o Teorema tubular de Bochner. Nesta versão usaremos uma classe de transformadas FBI (introduzida em \cite{BH12}), a noção de conjunto frente de onda analítico e a relação entre esses conceitos. As ideias presentes na segunda parte deste trabalho estão no artigo \cite{SB} de S. Berhanu. Vale destacar que usando essa segunda versão poderemos estender funções holomorfas definidas em conjuntos mais gerais do que conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$. que conjuntos do tipo tubular em $\mathbb{C}^m$. Mostrar Abstract The aim of this work is to study the classical Bochner Tubular Theorem from a more modern perspective. The classic Bochner Tubular Theorem is presented in the classical theory of holomorphic functions and provides a sufficient condition for the extension of holomorphic functions defined on tubular sets in $\mathbb{C}^m$, i.e., sets of the form $U\times\mathbb{R}^m$, where $U$ is an open, connected, non-empty subset of $\mathbb{R}^m$. We present the ideas from the paper \cite{JH2}, which suggest an alternative proof for the Bochner Tubular Theorem. For a complete understanding of this proof, we need to establish some notions and results about convexity, analytic discs, and the Baouendi-Treves Approximation Formula. We only need the particular case of the Baouendi-Treves Formula for the structure generated by the Cauchy-Riemann operators. However, to make the text more comprehensive, we will first present it for arbitrary structures and then for the desired structure (emphasizing that the convergence of the approximate formula can be obtained in other topologies, but in this text it is sufficient to consider only the uniform convergence). We will also present a microlocal version of the Bochner Tubular Theorem. In this version, we will use a class of FBI transforms (introduced in \cite{BH12}), the notion of analytic wavefront set, and a relation between these concepts. The ideas in the second part of this work are in the paper \cite{SB} written by S. Berhanu. It is important to observe that using this second version, we can extend holomorphic functions defined on sets more general than tubular sets in $\mathbb{C}^m$.

2023

	Dissertações
1	CICERO CALHEIROS DOS SANTOS FILHO Global-Local Mixing Orientador : DAVI DOS SANTOS LIMA MEMBROS DA BANCA : DAVI DOS SANTOS LIMA RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA Ricardo Turolla Bortolotti Data: 27/02/2023 Mostrar Resumo Esta dissertação visa apresentar conceitos, exemplos e técnicas consolidados e recentes em Teoria Ergódica. O principal novo conceito é o de Mistura Local-Global, que seguiremos chamando de Global-Local Mixing, uma ideia recente, datada de 2010, para entendermos o comportamento de um sistema dinâmico que preserva uma medida infinita que é sigma-finita. Mostraremos que os famosos mapas de Boole e de Maneville-Pomeau são, ambos, Global-Local Mixing. Mostrar Abstract This dissertation aims to present consolidated and recent concepts, examples and techniques in Ergodic Theory. The main new concept is Global Mixing, which we will continue to call Global-Local Mixing, a recent idea, dating back to 2010, to understand the behavior of a dynamical system that preserves an infinite measure that is sigma-finite. We will show that the famous Boole and Maneville-Pomeau maps are both Global-Local Mixing.
2	ERIC ALBERTO DE SOUZA SANTOS Teoria de Controle para a Equação de Korteweg-de Vries em um Domínio Limitado Orientador : MARCIO CAVALCANTE DE MELO MEMBROS DA BANCA : MARCIO CAVALCANTE DE MELO RENAN DANTAS MEDRADO VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ Data: 31/05/2023 Mostrar Resumo Esta dissertação aborda o estudo de controle para a equação do transporte, a equação linearizada de Korteweg-de Vries e a equação não linear de Korteweg-de Vries em domínios limitados. O objetivo do trabalho é provar a controlabilidade destes sistemas através do princípio da unicidade de Hilbert. Mostrar Abstract This dissertation addresses the study of control for the transport equation, the linearized Korteweg-de Vries equation, and the nonlinear Korteweg-de Vries equation in bounded domains. The aim of this work is to prove the controllability of these systems through the Hilbert’s uniqueness principle.
3	JOSAFÁ JOAQUIM DA SILVA JÚNIOR Método conforme aplicado à estabilidade de hipersuperfícies mínimas em R^4 Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA MEMBROS DA BANCA : GREGORIO PACELLI FEITOSA BESSA MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE Data: 14/08/2023 Mostrar Resumo Neste trabalho, desenvolveremos os cáLalculos feitos por [3] no qual são usadas técnicas envolvendo métricas conformes e estimativas para reobter um resultado sobre hipersuperfíies mínimas, a saber, uma hipersupefície mínima imersa, orientável, completa e estável em R^4 tem de ser (isométrica a) um hiperplano. Mostrar Abstract In this work, we will develop the calculations made by [3] in which techniques involving conformal metrics and estimates are used to obtain a result on minimal hypersurfaces, namely, an immersed complete, orientable and stable minimal hypersurface R^4 must be (isometric a) a hyperplane.

2022

	Dissertações
1	RODRIGO COSTA Classificação das subvariedades totalmente umbílicas de Sn × R Orientador : CARLOS GONCALVES DO REI FILHO MEMBROS DA BANCA : CARLOS GONCALVES DO REI FILHO FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO SAMUEL DA CRUZ CANEVARI Data: 24/03/2022 Mostrar Resumo Nesta dissertação, apresentamos uma classificação das subvariedades umbílicas de dimensão e codimensão arbitrária de Sn × R, baseado no trabalho de Bruno Mendonça e Ruy Tojeiro (2013). A classificação que será apresentada, estende a classificação das superfícies umbílicas em S2 × R por Souam e Toubiana (2009), bem como a descrição local das hipersuperfícies umbílicas de Sn × R por Van der Veken e Vrancken (2008), para codimensão maior que um. Em ambos os trabalhos, as superfícies umbílicas e hipersuperfícies umbílicas são de rotação. Será mostrado que as subvariedades estudadas neste trabalho também são de rotação e apresentaremos parametrizações explicitas. Mostrar Abstract In this work, we present a classification of the arbitrary dimension and codimension umbilic submanifolds of Sn × R, based on the work of Bruno Mendonça and Ruy Tojeiro (2013). The classification that will be presented extends the classification of umbilical surfaces in S2 × R by Souam and Toubiana (2009), as well as the local description of umbilical hypersurfaces in Sn × R by Van der Veken and Vrancken (2008), to a codimension greater than one. In both works, the umbilical surfaces and the umbilical hypersurfaces are rotational. It will be shown that the submanifolds studied in this work are also rotational and we will present explicit parameterizations.
2	ANTONIO DEÍGERSON DA COSTA LOPES Sobre Condições de Ricci para Imersões de Curvatura Média Constante de Fronteira Livre em Bolas de Formas Espaciais. Orientador : FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO MEMBROS DA BANCA : NEWTON LUIS SANTOS FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA Data: 26/08/2022 Mostrar Resumo Nesta dissertação, investigaremos as condições de Ricci para imersões de curvatura média constante de fronteira livre em bolas de formas espaciais. Dada uma variedade Riemanniana bidimensional $\Sigma^{2}$ com uma métrica $ds^{2}$ cuja curvatura Gaussiana é $K_{s}< H^{2}+c$, a condição de Gregório Ricci-Curbastro é uma condição necessária e suficiente para que tal imersão seja isometricamente imersa minimamente ou de curvatura média constante em uma forma espacial é que a nova métrica $d\Tilde{s}^{2}=\sqrt{-K_{s}+H^{2}+c}ds^{2}$ seja plana. Se a condição para realizar essa imersão é considerarmos que $\Sigma^{2}$ seja simplesmente conexa, então podemos realizar a imersão induzida pela métrica $ds^{2}$ em bolas de formas espaciais. No mesmo sentido, vimos que a existência de imersões mínimas em $\mathbb{R}^{3}$, a equação do Tipo Simons, para o caso tridimensional, é equivalente a equação diferencial $K\bigtriangleup K - \|\|\nabla K \|\|^{2} - 4K^{3}=0$ com $K<0$. Acrescentando tal condição a uma imersão isométrica mínima $f: {\Sigma}^{2} \rightarrow B^{n} $, com possíveis pontos de ramificação e sem pontos de umbilicidade, mostramos que após uma possível redução de codimensão, $f(\Sigma^{2})$ chega essencialmente em $\mathbb{R}^{3}$ ou essencialmente em $\mathbb{R}^{6}$. Obtemos assim, uma versão analítica para a imersão mínima $f$ , com possiveis pontos de ramificação, em que $f(\Sigma^{2})$ encontra $\partial B $ ortogonalmente, então que $f(\Sigma^{2})$ é totalmente umbílica. Mostrar Abstract In this dissertation, we will investigate the Ricci conditions for immersions of constant mean curvature of free boundary in balls of space forms. Given a two-dimensional Riemannian manifold $\Sigma^{2}$ with a metric $ds^{2}$ whose Gaussian curvature is $K_{s}< H^{2}+c$, the Gregory Ricci-Curbastro condition is a necessary and sufficient condition for such an immersion to be isometrically minimally immersed or of constant mean curvature in a space form is that the new metric $d\Tilde{s}^{2}=\sqrt{-K_{s}+H^ {2}+c}ds^{2}$ be flat. If the condition for performing this immersion is that $\Sigma^{2}$ is simply connected, then we can perform the immersion induced by the metric $ds^{2}$ on balls of space forms. In the same vein, we saw that the existence of minimal immersions in $\mathbb{R}^{3}$, the Simons Type equation, for the three-dimensional case, is equivalent to the differential equation $K\bigtriangleup K - \|\|\nabla K \|\|^{2} - 4K^{3}=0$ with $K<0$. Adding such a condition to a minimal isometric immersion $f: {\Sigma}^{2} \rightarrow B^{n} $, with possible branch points and no umbility points, we show that after a possible codimension reduction, $f (\Sigma^{2})$ essentially arrives at $\mathbb{R}^{3}$ or essentially $\mathbb{R}^{6}$. We thus obtain an analytic version for the minimal immersion $f$ , with possible branch points, where $f(\Sigma^{2})$ meets $\partial B $ orthogonally, so that $f(\Sigma^{ 2})$ is totally umbilical.
3	CARLOS EDUARDO SOARES DE MARIA Domínios f-extremais para o operador Laplaciano Orientador : MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE MEMBROS DA BANCA : MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA JOSÉ NAZARENO VIEIRA GOMES Data: 26/08/2022 Mostrar Resumo Nesta dissertação, investigamos propriedades geométricas de domínios extremais, limitados ou não. Os domínios extremais são os domínios que são pontos críticos para o funcional primeiro autovalor para variações que preservam o volume. Mostramos que estes domínios são caracterizados por admitirem uma solução não trivial para um problema sobredeterminado do tipo Serrin. Isto nos motiva a definir os domínios f-extremais, quando usamos uma função arbitrária f como não linearidade do problema sobredeterminado. A principal ferramenta utilizada é o princípio do máximo no formato do método dos planos móveis e o resultado principal é o Teorema de Ros-Sicbaldi sobre a provada Conjectura de Berestycki-Caffarelli-Nirenberg em dimensão dois quando a não linearidade cresce pelo menos como uma função linear. Mostrar Abstract In this dissertation, we investigate geometric properties of extremal domains, bounded or not. The extremal domains are the domains that are critical points for the first eigenvalue functional for volume-preserving variations. We show that these domains are characterized by admitting a non-trivial solution to an overdetermined Serrin-type problem. This motivates us to define the f-extremal domains, when we use an arbitrary function f as the nonlinearity of the overdetermined problem. The main tool used is the maximum principle in the format of the moving planes method and the main result is the Ros-Sicbaldi Theorem on the proof of Berestycki-Caffarelli-Nirenberg Conjecture in dimension two when the nonlinearity grows at least as a function linear.
4	JANDIR GOMES DE SOUZA TAVARES Decaimento de Correlações para o Mapa de Manneville-Pomeau Orientador : RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA MEMBROS DA BANCA : RAFAEL NOBREGA DE OLIVEIRA LUCENA MARIA JOSÉ PACÍFICO RAFAEL JOSE ALVAREZ BILBAO Data: 20/12/2022 Mostrar Resumo Neste trabalho, estudaremos propriedades ergódicas do Mapa de Manneville-Poumeau. Mais precisamente, provaremos que tal dinâmica possui uma probabilidade invariante, equivalente a medida de Lebesgue, cuja densidade é localmente Lipschitz. Provaremos também que tal transformação possui decaimento polinomial de correlações sobre o es- paço L∞ e C1. Para obter o primeiro resultado, construiremos cones, com propriedades de compacidade, invariantes pela ação do operador de Transferência. Para o segundo, utilizaremos técnicas de perturbação de operadores. Os resultados obtidos neste trabalho foram desenvolvidos por C. Liverani, B. Saussol e S. Vaienti em [5]. Mostrar Abstract In this work, we will study ergodic properties of the Maneville-Poumeau Map. More precisely, we will prove that such dynamics has an invariant probability, equivalent to the Lebesgue measure, whose density is locally Lipschitz. We will also prove that such a transformation has polynomial decay of correlations over the space L∞ and C1. To obtain the first result, we will build cones, with compactness properties, invariant by the action of the Transfer operator. For the second, we will use operator perturbation techniques. The results obtained in this work were developed by C. Liverani, B. Saussol and S. Vaienti in [5].

2021

	Dissertações
1	MANUEL VINICIUS RIBEIRO LOPES LIMA Estimativas de índice para hipersuperfícies mínimas com fronteira livre Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA MEMBROS DA BANCA : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE DARLAN FERREIRA DE OLIVEIRA Data: 19/03/2021 Mostrar Resumo Nesta dissertação, apresentaremos alguns resultados sobre estimativas para o índice de uma hipersuperfície mínima com fronteira livre propriamente mergulhada em um domínio estritamente convexo em média do espaço Euclidiano. As estimativas descritas neste trabalho foram obtidas por L. Ambrozio, A. Carlotto e B. Sharp em [2], onde eles demonstraram, dentre outras coisas, que o índice de uma hipersuperfície mínima com as propriedades descritas acima é limitado por baixo por uma função linear da dimensão do seu primeiro grupo de homologia relativa. Em ambientes tridimensionais, o índice de uma superfície mínima com fronteira livre é limitado por baixo por uma função linear do gênero e do número de componentes conexas da fronteira da superfície. Mostrar Abstract In this dissertation, we present some results on index estimates for properly embedded free boundary minimal hypersurfaces in strictly mean convex domains of Euclidean space. The estimates described in this work were obtained by L. Ambrozio, A. Carlotto and B. Sharp in [2], in which they showed that the index of a minimal hypersurface with the properties described above is bounded from below by a linear function of the dimension of its first relative homology group. In three-dimensional ambients, the index of a free boundary minimal surface is bounded from below by a linear function of its genus and the number of boundary components.
2	FRANCISCO CLEONE NERES DE LIMA ESTIMANDO O PRIMEIRO AUTOVALOR DO LAPLACIANO DE HIPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS Orientador : CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ MEMBROS DA BANCA : ABDENAGO ALVES DE BARROS CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA Data: 30/03/2021 Mostrar Resumo No artigo "A first eigenvalue estimative for minimal hypersurfaces". H. Choi e A. N. Wang obtiveram uma cota inferior para o primeiro autovalor do Laplaciano deuma hipersuperfície mínima compacta orientável mergulhada em uma variedade compacta orientável com curvatura de Ricci positiva. Nessa dissertação, usando argumentos de espaços de recobrimento provaremos esse mesmo resultado sem suposições sobre orientabilidade. Além disso, utilizaremos a Fórmula de Reilly que é na verdade uma versão obtida por integração da Fórmula de Bochner. Combinando o resultado de estimativa obtida com um teorema de Yang e Yau, encontramos uma cota superior para a área de uma superfície mínima mergulhada em S³ apenas em função datopologia, mais precisamente em função do gênero da superfície. Mostrar Abstract In the article "A first eigenvalue estimate for minimal hypersurfaces" H. Choi e A. N. Wang obtained a lower bound for the first eigenvalue of the Laplacian of a compact orientable embedded minimal hypersurface in an compact orientable manifold with Positive Ricci curvature. In this dissertation, using covering space argument we prove this result dropping the orientability assumption. Moreover, we use Reilly's Formula was used, which is actually a version obtained by integrating of Bochner's Formula. Combining Choi and Wang's estimate with Yang and Yau's Theorem, we found a upper bounds estimate for the area of an embedded minimal surface in S³ only depending on its topology, more precisely only in terms of the genus of the surface.
3	ALLAN KENEDY SANTOS SILVA Estimativas de volume de subvariedades mínimas compactas imersas em alguns espacos simétricos de posto 1 Orientador : MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA MEMBROS DA BANCA : FÁBIO REIS DOS SANTOS HENRIQUE FERNANDES DE LIMA MARCIO HENRIQUE BATISTA DA SILVA Data: 31/03/2021 Mostrar Resumo A teoria das superfícies mínimas surgiu com um problema proposto por Lagrange, que consistia no seguinte: dada uma curva fechada sem auto-intersecções, achar a superfície de menor área que tem aquela curva como fronteira. Tal problema ficou conhecido como o Problema de Plateau. Passaram-se cerca de 16 anos desde os trabalhos de Lagrange ate fossem descobertos exemplos não triviais de superfícies mínimas devidos a Meusnier. A teoria ficou estagnada por 60 anos ate que Scherk encontrou novos exemplos de mínimas. Com os trabalhos de Weierstrass foi possível obter mais exemplos dessas superfícies. Daí por diante houveram grandes desenvolvimentos da teoria, se tornando um dos campos mais férteis da Geometria Diferencial. Uma classe de problemas estudados e o de estimar o volume de subvariedades mínimas imersas em certas variedades ambientes, como esferas, hiperplanos, espacos projetivos etc. O objetivo do presente trabalho é fornecer estimativas inferiores de volume de subvariedades mínimas compactas imersas em certos espaços simetricos de posto 1, a saber: a esfera unitária Sn, e os espaços projetivos real RPn, complexo CPn e quaterniônico HPn. Será mostrado que se Mm é uma subvariedade mínima da esfera Sn, então volM >= V_c(n;M) em que V_c(n;M) é o n-volume conforme de M. Uma outra estimativa para isto é vol(M)>= c_n, em que c_n = vol(Sn). No caso de M estar imersa em espacos projetivos tem-se os limitantes inferiores: c_n/2 em RPm, c_{n+1}/2\pi em CPm e c_{n+2}/2\pi^2 em HPm. Mostrar Abstract The theory of minimal surfaces came up with a problem proposed by Lagrange, which consisted of the following: given a closed curve without self-intersections, find the surface of smallest area that has that curve as boundary. Such a problem became known as the Plateau Problem. It took about 16 years from Lagrange's work to discover non-trivial examples of minimal surfaces due to Meusnier. The theory was stagnant for 60 years until Scherk found new examples of minimal surfaces. With the work of Weierstrass it was possible to obtain more examples of these surfaces. Thereafter there were major developments in theory, becoming one of the most fertile fields of Differential Geometry. One class of problems studied is that of estimate the volume of minimal submanifolds immersed in certain ambient manifolds, such as spheres, hyperplanes, projective spaces, etc. The objective of the present work is to provide lower bounds of volume of minimal compact submanifolds immersed in certain symmetrical spaces of rank 1, namely: the unitary sphere Sn, and the real projective space RPn, complex projective space CPn and quaternionic projective space HPn. It will be shown that if Mm is a minimal submanifold of Sn, then volM >=V_c(n;M) where V_c(n;M) is the n-conformal volume of M. Another estimate for this is volM>=c_n, where c_n = vol(Sn). In the case of M being immersed in projective spaces, we have the lower bounds: c_n/2 in RPm, c_{n+1}/2\pi in CPm and c_{n+2}=2\pi^2 in HPm.
4	CARLOS ALBERTO SANTOS BARBOSA PARABOLICIDADE, ESPAÇOS DE FUNÇÕES HARMÔNICAS E TOPOLOGIA NO INFINITO DE UMA VARIEDADE COMPLETA Orientador : MARCOS RANIERI DA SILVA MEMBROS DA BANCA : MARCOS RANIERI DA SILVA FELICIANO MARCILIO AGUIAR VITORIO MARCIO SILVA SANTOS Data: 16/04/2021 Mostrar Resumo O objetivo deste trabalho é investigar a relação intrínseca entre determinados espaços de funções harmônicas em uma variedade completa e sua topologia no infinito. Assumindo limites apropriados sobre a curvatura de Ricci, obtemos estimativas para as soluções das equações de Laplace e do calor. Esta teoria tem importantes aplicações à geometria e topologia de variedades, algumas das quais são apresentadas aqui. Em uma variedade com mais de um fim, construímos um espaço de funções harmônicas com propriedades notáveis. Por sua vez, estimar a dimensão desse espaço por meio de considerações geométricas nos ajudará a entender a topologia no infinito da variedade. Mais especificamente, mostraremos uma generalização do celebrado Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll. Mostrar Abstract The aim of this work is to investigate the intrinsic relationship between certain spaces of harmonic functions on a complete manifold and their topology in the infinite. Assuming appropriate bounds on the Ricci curvature, we obtain estimates for the solutions of the Laplace and heat equations. This theory has important applications to geometry and topology of manifolds, some of which are presented here. In a manifold with more than one end, we have built a space of harmonic functions with remarkable properties. In turn, estimating the dimension of this space through geometric considerations will help us to understand the topology in the infinite of the manifold. More specifically, we will show a generalization of the celebrated Cheeger-Gromoll Splitting theorem.
5	CARLOS HENRIQUE DA SILVA Caracterização de Hipersuperfície com Curvatura r-Média Constante Orientador : GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO MEMBROS DA BANCA : GREGORIO MANOEL DA SILVA NETO HILARIO ALENCAR DA SILVA GREGORIO PACELLI FEITOSA BESSA Data: 26/08/2021 Mostrar Resumo O objetivo desta dissertação é apresentar uma demostração do teorema de Sebastián Montiel e Antonio Ros que caracterizam as hipersuperfícies compactas, mergulhadas e com r-ésima curvatura média constante em formas espaciais. Esse teorema generaliza o teorema clássico de Alexandrov e estabelece que "As únicas hipersuperfícies compactas, sem fronteira e mergulhadas no Espaço Euclidiano, no hemisfério aberto da esfera Euclidiana ou no espaço hiperbólico, com curvatura r-média constante para algum r=1,...,n, são as hiperesferas geodésicas." Observamos ainda que, apesar de seguirmos as ideias de Montiel e Ros, neste trabalho apresentamos uma nova abordagem para algumas etapas da demonstração. Mostrar Abstract This thesis aims to present a proof of a theorem of Sebastián Montiel and Antonio Ros which characterizes the compact hypersurfaces, without boundary, with constant r-mean curvature embedded in the space forms. This theorem generalizes the classical theorem of Alexandrov and states that "The only compact, without boundary, hypersurfaces with constant r-mean curvature for some r=1,...,n, embedded in the Euclidean space, in the open hemisphere of the Euclidean sphere, or in the hyperbolic space, are the geodesic hyperspheres." We remark that, despite we follow the ideas of Montiel and Ros, we give a new approach for some steps of the proof presented here.

2020

	Dissertações
1	DEIVID SANTOS DE ALMEIDA Unicidade de Hipersuperfícies Capilares Estáveis em uma Bola Orientador : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA MEMBROS DA BANCA : ABRAAO MENDES DO REGO GOUVEIA CICERO TIARLOS NOGUEIRA CRUZ FRANCISCO VANDERSON MOREIRA DE LIMA MARCOS PETRUCIO DE ALMEIDA CAVALCANTE Data: 13/03/2020 Mostrar Resumo A. Ros e E. S. Vergasta, juntamente com I. Nunes em um trabalho independente, classificaram as superfícies CMC estáveis com bordo livre na bola euclidiana tridimensional. Neste trabalho iremos apresentar uma generalização feita por G. Wang e C. Xia para hipersuperfícies capilares estáveis em bolas geodésicas do espaço euclidiano, do espaço hiperbólico e da esfera unitária. A ideia principal da demonstração é a utilização de uma fórmula do tipo Minkowski que nos fornece uma família de funções testes importantes que são chaves na prova do teorema, pois anulam o termo do bordo na fórmula da segunda variação da energia. Concluímos a dissertação mostrando as alterações necessárias para resolver o problema exterior em um dos três modelos citados. Tomaremos como exemplo o caso hiperbólico. Mostrar Abstract A. Ros e E. S. Vergasta, juntamente com I. Nunes em um trabalho independente, classificaram as superfícies CMC estáveis com bordo livre na bola euclidiana tridimensional. Neste trabalho iremos apresentar uma generalização feita por G. Wang e C. Xia para hipersuperfícies capilares estáveis em bolas geodésicas do espaço euclidiano, do espaço hiperbólico e da esfera unitária. A ideia principal da demonstração é a utilização de uma fórmula do tipo Minkowski que nos fornece uma família de funções testes importantes que são chaves na prova do teorema, pois anulam o termo do bordo na fórmula da segunda variação da energia. Concluímos a dissertação mostrando as alterações necessárias para resolver o problema exterior em um dos três modelos citados. Tomaremos como exemplo o caso hiperbólico.
2	NEMUEL ROCHA LIMA Estabilidade de soluções do tipo Solitons para a equação generalizada de Korteweg-de Vries Orientador : MARCIO CAVALCANTE DE MELO MEMBROS DA BANCA : ADAN JOSE CORCHO FERNANDEZ ISNALDO ISAAC BARBOSA MARCIO CAVALCANTE DE MELO RENAN DANTAS MEDRADO ROBERTO DE ALMEIDA CAPISTRANO FILHO Data: 20/03/2020 Mostrar Resumo Neste trabalho fazemos um estudo de estabilidade global das soluções especiais, chamadas solitons, com respeito ao problema de Cauchy (PVI) associado à equação não-linear de Korteweg-de Vries generalizada (gKdV), para p = 2; 3; 4. Para a prova do resultado de estabilidade, usamos a abordagem de Weinstein que foi revisada recentemente no artigo de Muñoz. Mostrar Abstract Neste trabalho fazemos um estudo de estabilidade global das soluções especiais, chamadas solitons, com respeito ao problema de Cauchy (PVI) associado à equação não-linear de Korteweg-de Vries generalizada (gKdV), para p = 2; 3; 4. Para a prova do resultado de estabilidade, usamos a abordagem de Weinstein que foi revisada recentemente no artigo de Muñoz.