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Dissertações/Teses

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2023
Dissertações
1
  • MARIA ELOISA FERREIRA DOS SANTOS
  • Números transcendentes e as equações da forma x^n=n^x

  • Orientador : ALCINDO TELES GALVAO
  • MEMBROS DA BANCA :
  • ALCINDO TELES GALVAO
  • ARLYSON ALVES DO NASCIMENTO
  • MORENO PEREIRA BONUTTI
  • Data: 22/12/2023

  • Mostrar Resumo
  • Dos diversos problemas ainda não resolvidos da Matemática, alguns tratam-se de conceitos e elementos advindos da Teoria dos Números Transcendentes, podendo citar como exemplo a dificuldade em demonstrar que a natureza de um número é transcendental. A partir dos avanços nessa teoria, um dos resultados que é de extrema importância para "construir" um número transcendente na forma de potência é o Teorema de Gelfond-Schneider. Inserido nesse cenário de potências transcendentes, é pouco conhecida a natureza de potências da forma $n^T$, com $n \in \mathbb{N}$ e $T$ transcendente. A respeito dos números $2^\pi$ e $2^e$, por exemplo, ainda não se sabe se são transcendentes ou não.  Diante disso, neste trabalho realizamos um estudo sobre as soluções da equação $x^n=n^x$, com $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ e $x \in \mathbb{R}-\{0,1\}$ e sua relação com números transcendentes da forma $n^T$, dentro das condições apresentadas. Com isso, definimos um critério de transcendência para tais potências e também destacamos que tal resultado não é único, existem outros números transcendentes que não atendem a esse critério, bem como existem números da forma $n^T$ que são algébricos. Por fim, serão apresentadas duas sequências didáticas como incentivo à abordagem de números transcendentes no Ensino Médio e na formação de professores.


  • Mostrar Abstract
  • Of the many unresolved problems in Mathematics, some are concepts and elements arising from the Theory of Transcendent Numbers, for example the difficulty in demonstrating that the nature of a number is transcendental. Based on the advances in this theory, one of the results that is extremely important for "constructing" \ a transcendent number in the form of a power is the Gelfond-Schneider Theorem. Inserted in this scenario of transcendent powers, the nature of powers of the form $n^T$, with $n \in \mathbb{N}$ and $T$ transcendent, is little known. Regarding the numbers $2^\pi$ and $2^e$, for example, it is not yet known whether they are transcendent or not. Therefore, in this work we carried out a study on the solutions of the equation $x^n=n^x$, with $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ and $x \in \mathbb{ R}-\{0,1\}$ and its relationship with transcendent numbers of the form $n^T$, within the conditions presented. With this, we define a transcendence criterion for such powers and also highlight that such a result is not unique, there are other transcendent numbers that do not meet this criterion, as well as there are numbers of the form $n^T$ that are algebraic. Finally, two didactic sequences will be presented as an incentive to approach transcendent numbers in high school and teacher training.

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